【題目】已知正項等比數(shù)列{an}(n∈N*),首項a1=3,前n項和為Sn,且S3+a3、S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)數(shù)列{nan}的前n項和為Tn,若對任意正整數(shù)n,都有Tn∈[a,b],求b-a的最小值.
【答案】(1)an=3×()n-1.(2)9.
【解析】試題分析:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意,列成方程,求解 ,即可求解數(shù)列的通項公式;
(2)由(1)知nan=3n×,用乘公比錯位相減法求的Tn,根據(jù)Tn的增減性,求解3≤Tn<12,即可求解b-a的最小值.
試題解析:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
∵S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差數(shù)列,
∴有2(S5+a5)=(S3+a3)+(S4+a4)
即2(a1+a2+a3+a4+2a5)=(a1+a2+2a3)+(a1+a2+a3+2a4),
化簡得4a5=a3,從而4q2=1,解得q=±,
∵an>0,∴q=,得an=3×()n-1.
(2)由(1)知,nan=3n×()n-1,Tn=3×1+3×2×()+3×3×()2+…+3n()n-1;
Tn=3×1×()+3×2×()2+…+3(n-1)×()n-1+3n()n
兩式相減得:Tn=3×1+3×()+3×()2+…+3×()n-1-3n()n
=3×-3n()n=6-,
∴Tn=12-<12.
又nan=3n×()n-1>0,∴{Tn}單調(diào)遞增,
∴(Tn)min=T1=3,故有3≤Tn<12.
∵對任意正整數(shù)n,都有Tn∈[a,b],
∴a≤3,b≥12.
即a的最大值為3,b的最小值為12.
故(b-a)min=12-3=9.
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【題目】已知點,橢圓的長軸長是短軸長的2倍,是橢圓的右焦點,直線的斜率為,為坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點的動直線與橢圓相交于兩點.當(dāng)的面積最大時,求直線的方程.
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【題目】函數(shù)f(x)的定義域為[﹣1,1],圖象如圖1所示;函數(shù)g(x)的定義域為[﹣2,2],圖象如圖2所示,設(shè)函數(shù)f(g(x))有m個零點,函數(shù)g(f(x))有n個零點,則m+n等于( 。
A. 6 B. 10 C. 8 D. 1
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【題目】北京大學(xué)從參加逐夢計劃自主招生考試的學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六組, ,…, 后得到如下部分頻率分布直方圖,觀察圖形的信息,回答下列問題:
(1)求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率;
(2)估計本次考試成績的中位數(shù)(結(jié)果四舍五入,保留整數(shù));
(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任取2人,求至多有人在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的概率.
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【題目】如圖,在幾何體中,四邊形為菱形,對角線與的交點為,四邊形為梯形, .
(Ⅰ)若,求證: 平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)若, , ,求與平面所成角.
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【題目】已知四棱錐中,底面為直角梯形, 平面,側(cè)面是等腰直角三角形, , ,點是棱的中點.
(1)證明:平面平面;
(2)求銳二面角的余弦值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中, 的兩個頂點的坐標(biāo)分別為,三個內(nèi)角滿足.
(1)若頂點的軌跡為,求曲線的方程;
(2)若點為曲線上的一點,過點作曲線的切線交圓于不同的兩點(其中在的右側(cè)),求四邊形面積的最大值.
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【題目】設(shè)為實數(shù),函數(shù).
(1)若,求的取值范圍;
(2)討論的單調(diào)性;
(3)當(dāng)時,討論在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù).
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【題目】已知橢圓: 的上下兩個焦點分別為,過點與軸垂直的直線交橢圓于兩點, 的面積為,橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知為坐標(biāo)原點,直線與軸交于點,與橢圓交于兩個不同的點,若,求的取值范圍.
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