已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
3
2
，且過點(diǎn)（
3
，
1
2
）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0，m＞0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，且以PQ為對(duì)角線的菱形的一頂點(diǎn)為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時(shí)直線l的方程．
分析：（Ⅰ）根據(jù)e=
3
2
，可得b2=
a2
4
，故所求橢圓為
x2
a2
+
4y2
a2
= 1，把點(diǎn)（
3
 ，  
1
2
）代入橢圓的方程可得a2=4，從而得到橢圓的方程．
（Ⅱ）將直線y=kx+m與
x2
4
+y2 = 1聯(lián)立，得到 4k2+1-m2＞0  ①，由中點(diǎn)公式及
y0-0
x0-(-1)
=-
1
k
，得到整理得3km=4k2+1  ②，由①②可得k2＞
1
5
，又  S△OPQ為
2
20+
1
k2
-
1
k4
9
，故當(dāng)
1
k2
=
1
2
 時(shí)，△OPQ 的面積取最大值1，此時(shí)k=
2
，m=
3
2
2
，從而得到l的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵e=
3
2
，∴c=
3
2
a，∴b2=a2-c2=
a2
4
，故所求橢圓為：
x2
a2
+
4y2
a2
= 1．
又橢圓過點(diǎn) （
3
 ，  
1
2
），∴
3
a2
+
1
a2
= 1，∴a2=4，b2=1，
∴
x2
4
+ y2 = 1．
（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點(diǎn)為（x0，y0）
將直線y=kx+m與
x2
4
+y2 = 1   聯(lián)立得  （1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
∵△=16（4k2+1-m2 ）＞0，即 4k2+1-m2＞0  ①，
又x0=
x1+x2
2
=
-4km
1+4k2
，y0=
y1+y2
2
=
m
1+4k2
，又點(diǎn)[-1，0]不在橢圓OE上．
依題意有
y0-0
x0-(-1)
=-
1
k
，整理得3km=4k2+1  ②． 由①②可得k2＞
1
5
，
∵m＞0，∴k＞0，∴k＞
5
5
，
設(shè)O到直線l的距離為d，
則S△OPQ=
1
2
• d• |PQ|=
1
2
•
m
1+k2
•
1+k2
•
16(4k2+ 1 - m2) 
1+4k2
  
=
2
(4k2+ 1) (5k2-1)
9k2
=
2
20+
1
k2
-
1
k4
9
．
當(dāng)
1
k2
=
1
2
 時(shí)，△OPQ 的面積取最大值1，此時(shí)k=
2
，m=
3
2
2
，
∴直線方程為 y=
2
x+
3
2
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，求出k值，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）是長軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線l⊥x軸時(shí)，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若N為AB的中點(diǎn)，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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