Question

“地溝油”嚴(yán)重危害了人民群眾的身體健康，某企業(yè)在政府部門(mén)的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了一種從“食品殘?jiān)�”中提煉出生物柴油的�?xiàng)目．經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)可以近似的表示為：y=

1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500)

，且每處理一噸“食品殘?jiān)�”，可得到能利用的生物柴油價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，政府將補(bǔ)貼．
（1）當(dāng)x∈[200，300）時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲得，則政府每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損；
（2）該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？

Answer 1

分析：（1）先確定該項(xiàng)目獲利的函數(shù)，再利用配方法確定不會(huì)獲利，從而可求政府每月至少需要補(bǔ)貼的費(fèi)用；
（2）確定食品殘?jiān)�的每噸的平均處理成本函�?shù)，分別求出分段函數(shù)的最小值，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)x∈[200，300）時(shí)，該項(xiàng)目獲利為S，則S=200x-（

1

2

x²-200x+80000）=-

1

2

（x-400）²，
∴當(dāng)x∈[200，300）時(shí)，S＜0，因此，該項(xiàng)目不會(huì)獲利
當(dāng)x=300時(shí)，S取得最大值-5000，所以政府每月至少需要補(bǔ)貼5000元才能使該項(xiàng)目不虧損；
（2）由題意知，食品殘?jiān)�的每噸的平均處理成本�?span id="xidxpde" class="MathJye">

y

x

=

1 3 x2-80x+5040，x∈[120，144] 1 2 x+ 80000 x -200，x∈[144，500]

①當(dāng)x∈[120，144）時(shí)，

y

x

=

1

3

(x-120)2+240，∴當(dāng)x=120時(shí)，

y

x

取得最小值240；
②當(dāng)x∈[144，500）時(shí)，

y

x

=

1

2

x+

80000

x

-200≥400-200=200
當(dāng)且僅當(dāng)

1

2

x=

80000

x

，即x=400時(shí)，

y

x

取得最小值200
∵200＜240
∴每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)的最值，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)關(guān)系式．