Question

已知等比數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3^n-1，設(shè)數(shù)列{b_n}滿足對任意自然數(shù)n都有+++┅+=2n+1恒成立．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；  
（2）求b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₁的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把已知條件中的n換成n-1得到②，相減可得，再由a_n=3^n-1求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）要求的式子即 3+（2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹⁰ ，利用等比數(shù)列的前n項和公式，求出要求式子的值．
解答：解：（1）∵對任意正整數(shù)n，有+++┅+=2n+1，①
∴當(dāng)n≥2時，+++┅+=2n-1，②…（4分）
①-②得  ；  故 b_n=2a_n =2×3^n-1（n≥2）． …（7分）
當(dāng)n=1時，，
又a₁=1，∴b₁=3．
∴． …（10分）
（2）b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₁=3+（2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹⁰）=3+3（3²⁰¹⁰-1）=3²⁰¹¹．…（15分）
點評：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前n項和公式，求得，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．