Question

3．已知線段AM的端點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），端點(diǎn)M在圓C：x²+y²=4上．
（1）當(dāng)直線AM與圓C相切時(shí)，求直線AM的方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{MP}$，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)AM的斜率不存在時(shí)，直線AM的方程為x=3，不成立；當(dāng)AM的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線AM的方程為kx-y-3k=0，由圓心C（0，0）到直線AM的距離為半徑2，求出k，由此能求出直線AM的方程．
（2）設(shè)M（2cosθ，2sinθ），P（x，y），求出$\overrightarrow{AP}$=（x-3，y），$\overrightarrow{MP}$=（x-2cosθ，y-2sinθ），再由動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{MP}$，能求出點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：（1）∵線段AM的端點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），端點(diǎn)M在圓C：x²+y²=4上．
直線AM與圓C相切，
∴當(dāng)AM的斜率不存在時(shí)，直線AM的方程為x=3，不成立；
當(dāng)AM的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線AM的方程為y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
圓心C（0，0）到直線AM的距離：d=$\frac{|-3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得k=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴直線AM的方程為：y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x-3）或y=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x-3）．
（2）設(shè)M（2cosθ，2sinθ），P（x，y），
則$\overrightarrow{AP}$=（x-3，y），$\overrightarrow{MP}$=（x-2cosθ，y-2sinθ），
∵動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{MP}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-3=2x-4cosθ}\\{y=2y-4sinθ}\end{array}\right.$，（0≤θ＜2π），
消去參數(shù)θ，得點(diǎn)P的軌跡方程為（x+3）²+y²=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，考查軌跡方程的求法，考查直線方程、圓、圓的參數(shù)方程、同角三角函數(shù)關(guān)系式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．