Question

15．如圖1所示，一條直角走廊寬為am，（a＞0）
（1）若位于水平地面上的一根鐵棒在此直角走廊內(nèi)，且∠PEF=θ，試求鐵棒的長l；
（2）若一根鐵棒能水平地通過此直角走廊，求此鐵棒的最大長度；
（3）現(xiàn)有一輛轉(zhuǎn)動靈活的平板車，其平板面是矩形，它的寬AD為b m（0＜b＜a）如圖2．平板車若想順利通過直角走廊，其長度l不能超過多少米？

Answer 1

分析 （1）由圖形可得：l=$\frac{a}{sinθ}$+$\frac{a}{cosθ}$米，（a＞0）．
（2）令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，又θ∈$（0，\frac{π}{2}）$，可得t∈（1，$\sqrt{2}$]，sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．
l=a•$\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ}$=$\frac{2at}{{t}^{2}-1}$=f（t），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．
（3）AB=f（t）=l-$\frac{tanθ}$-btanθ=a•$\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ}$-$\frac{sinθcosθ}$=$\frac{2at-2b}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2a}{t+1}$+$\frac{2a-2b}{{t}^{2}-1}$（0＜b＜a），利用單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由圖形可得：l=$\frac{a}{sinθ}$+$\frac{a}{cosθ}$米，（a＞0）．
（2）令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，又∵θ∈$（0，\frac{π}{2}）$，
∴t∈（1，$\sqrt{2}$]．
則sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．
則l=a•$\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ}$=$\frac{2at}{{t}^{2}-1}$=f（t），
f′（t）=$\frac{-2（1+{t}^{2}）}{（{t}^{2}-1）^{2}}$＜0，
∴函數(shù)f（t）在 t∈（1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞減．
∴t=$\sqrt{2}$時，f（t）取得最小值，f（$\sqrt{2}$）=$\frac{2\sqrt{2}a}{（\sqrt{2}）^{2}-1}$=2$\sqrt{2}$a，
故當t=$\sqrt{2}$，即θ=$\frac{π}{4}$時，l取得最小值，即能夠通過這個直角走廊的鐵棒的長度的最大值為2$\sqrt{2}$a米．
（3）AB=f（t）=l-$\frac{tanθ}$-btanθ=a•$\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ}$-$\frac{sinθcosθ}$=$\frac{2at-2b}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2a}{t+1}$+$\frac{2a-2b}{{t}^{2}-1}$（0＜b＜a），
則f（t）在t∈（1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞減．
∴AB的最小值=$\frac{2a}{\sqrt{2}+1}$+2a-2b=2$\sqrt{2}$a-2b．
故平板車的長度不能超過2$\sqrt{2}$a-2b米．

點評 本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性與求值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．