已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2,上頂點(diǎn)M(0,b),△MF1F2為正三角形且周長(zhǎng)為6,直線l:x=my+4與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求
OA
OB
的取值范圍.
(Ⅰ)∵上頂點(diǎn)M(0,b),△MF1F2為正三角形且周長(zhǎng)為6,
∴a=2,c=1,b=
3
,
∴橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)直線l:x=my+4代入橢圓方程,得(3m2+4)y2+24my+36=0,
由△=(24m)2-4×36×(3m2+4)>0
可得m2>4.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1+y2=-
24m
3m2+4
,y1y2=
36
3m2+4

OA
OB
=x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16=-4+
116
3m2+4

∵m2>4,
∴3m2+4>16,
OA
OB
∈(-4,
13
4
).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓焦距為2,離心率為
1
2

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)若直線l過(guò)點(diǎn)(1,2)且傾斜角為45°且與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)|AB|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1,0)、F2(1,0),O是坐標(biāo)原點(diǎn),C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B,且△AOB的面積為
5

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)P(4,0)作與x軸不重合的直線l與C交于相異兩點(diǎn)M、N,交y軸于Q點(diǎn),證明
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
為定值,并求這個(gè)定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知F1,F(xiàn)2是橢圓
x2
16
+
y2
9
=1
的兩焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),在△AF1B中,若有兩邊之和是10,則第三邊的長(zhǎng)度為_(kāi)_____.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
經(jīng)過(guò)如下五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn):P1(-1,-
2
2
)
,P2(0,1),P3(
1
2
,
2
2
)
,P4(1,
2
2
)
,P5(1,1).
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A為橢圓M的左頂點(diǎn),B,C為橢圓M上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn),若原點(diǎn)在△ABC的外部,且△ABC為直角三角形,求△ABC面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線的方程為5x2-4y2=20兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2
(1)求此雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程;
(2)若橢圓與此雙曲線有共同的焦點(diǎn),且有一公共點(diǎn)P滿足|PF1|•|PF2|=6,求橢圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,直線l:y=x+b與拋物線x2=4y相切于點(diǎn)A.
(1)求實(shí)數(shù)b的值;
(2)若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且平行于直線l的直線l1交拋物線于B,C兩點(diǎn),求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的頂點(diǎn)為A1,A2,B1,B2,焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,|A1B2|=
7
,S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線m過(guò)Q(1,1),且與橢圓相交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)Q是MN的中點(diǎn)時(shí),求直線m的方程.
(Ⅲ)設(shè)n為過(guò)原點(diǎn)的直線,l是與n垂直相交于P點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn)A,B的直線,|
OP
|=1
,是否存在上述直線l使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

曲線y=x2上的點(diǎn)到直線2x+y+4=0的最短距離是( 。
A.
5
5
B.
2
5
5
C.
3
5
5
D.
5

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