橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，且△AOB的面積為
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（4，0）作與x軸不重合的直線l與C交于相異兩點(diǎn)M、N，交y軸于Q點(diǎn)，證明
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
為定值，并求這個(gè)定值．
（Ⅰ）依題意得
a2-b2
=1
1
2
ab=
5
…（3分）
解得
a2=5
b2=4
，故橢圓C的方程為
x2
5
+
y2
4
=1．…（5分）
（Ⅱ）證明：依題意可設(shè)直線l的方程為x=ky+4…（6分）
由
x=ky+4
4x2+5y2=20
，消去x可得（4k2+5）y2+32ky+44=0
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），Q（0，y3），則
y1+y2=
-32k
4k2+5
y1y2=
44
4k2+5
…（8分）
又由直線l的方程x=ky+4知y3=-
4
k

由三角形的相似比得
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
=
|y3|
|y1|
+
|y3|
|y2|
=
|y3|(|y1|+|y2|)
|y1y2|

注意到y(tǒng)1y2＞0，
∴|y1|+|y2|=|y1+y2|
∴
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
=
|y3|×|y1+y2|
|y1y2|
=
4
|k|
×
32|k|
4k2+5
44
4k2+5
=
32
11

故
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
為定值
32
11
．…（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的頂點(diǎn)為A1，A2，B1，B2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，，|A1B1|=
7
，S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)、與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)的直線，且|
OP
|=1，是否存在上述直線l使
AP
•
PB
=1成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若橢圓
x2
12
+
y2
8
=1上有兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線l：6x-6y-1=0對稱，則PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是（　�。�
A．(
1
3
，
1
6
)		B．(
1
2
，
1
3
)		C．(-
1
3
，-
1
2
)		D．(-
1
2
，-
1
3
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)M 在棱AB上，且AM=
1
3
，點(diǎn)P是平面ABCD上的動點(diǎn)，且動點(diǎn)P到直線A1D1的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)M 的距離的平方差為2，則動點(diǎn)P的軌跡是（　　）
A．圓B．拋物線C．雙曲線D．直線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于點(diǎn)A、B，定直線x=4交x軸于點(diǎn)K，直線KA和直線KB的斜率分別是k1、k2．
（1）若直線l的傾斜角是45°，求線段AB的長；
（2）求證：k1+k2=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)(
3
，-
3
2
)，且橢圓的離心率e=
1
2
，過橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點(diǎn)A、B及C、D．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：
1
|AB|
+
1
|CD|
為定值；
（Ⅲ）求|AB|+
9
16
|CD|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

矩形ABCD的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊AB與x軸平行，AB=8，BC=6．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R，S，T是線段OF的四等分點(diǎn)，R′，S′，T′是線段CF的四等分點(diǎn)．設(shè)直線ER與GR′，ES與GS′，ET與GT′的交點(diǎn)依次為L，M，N．
（1）求以HF為長軸，以EG為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據(jù)條件可判定點(diǎn)L，M，N都在（1）中的橢圓Q上，請以點(diǎn)L為例，給出證明（即證明點(diǎn)L在橢圓Q上）．
（3）設(shè)線段OF的n（n∈N+，n≥2）等分點(diǎn)從左向右依次為Ri（i=1，2，…，n-1），線段CF的n等分點(diǎn)從上向下依次為Ti（i=1，2，…，n-1），那么直線ERi（i=1，2，…，n-1）與哪條直線的交點(diǎn)一定在橢圓Q上？（寫出結(jié)果即可，此問不要求證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)M（0，b），△MF1F2為正三角形且周長為6，直線l：x=my+4與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求
OA
•
OB
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知A（-3，0），B、C兩點(diǎn)分別在y軸和x軸上運(yùn)動，并且滿足
AB
•
BQ
=0，
BC
=
1
2
CQ
．
（1）求動點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線與Q的軌跡交于E、F兩點(diǎn)，A′（3，0），求直線A′E、A′F的斜率之和．

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同步練習(xí)冊答案