Question

2．有下列命題：
①若f（x）存在導(dǎo)函數(shù)，則f'（2x）=[f（2x）]'；
②若g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2013），則g'（2013）=2012!；
③若函數(shù)y=f（x）滿足f′（x）＞f（x），則當(dāng)a＞0時(shí)，f（a）＞e^af（0）；
④若f（x）=ax³+bx²+cx+d，則a+b+c=0是f（x）有極值點(diǎn)的充要條件．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則即可判斷正誤；
②令f（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012），g（x）=f（x）（x-2013），求導(dǎo)即可判斷；
③構(gòu)造函數(shù)f（x）=e^2x，得到e^2a＞e^2a，問題得以判斷正誤；
④根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，求出函數(shù)存在零點(diǎn)的充要條件即可．

解答 解：對(duì)于①，f（2x）為復(fù)合函數(shù)，故其導(dǎo)數(shù)為f′（2x）×（2x）′=2f′（2x），∴①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，令f（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012），
∴g（x）=f（x）（x-2013），
∴g′（x）=f′（x）（x-2013）+f（x）（x-2013）′，
∴g′（2013）=f′（2013）（2013-2013）+（2013-1）（2013-2）…（2013-2012）=2012!，∴②正確；
對(duì)于③，設(shè)函數(shù)f（x）=e^2x，則其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2e^2x，滿足f′（x）＞f（x），
由f（a）=e^2a，e^af（0）=e^a，當(dāng)a＞0時(shí)，e^2a＞e^2a，∴f（a）＞e^af（0），故③正確；
對(duì)于④，∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
又f（x）有極值點(diǎn)?f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?△=4b²-12ac＞0，∴④錯(cuò)誤．
綜上，正確的命題是②③，共2個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，以及函數(shù)零點(diǎn)的充要條件，關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)基本概念，屬于中檔題．