Question

1．（Ⅰ）已知x＞2，求函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x-2}$+x的值域；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式ax²+ax+a-1＜0的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x＞2得x-2＞0，利用基本不等式求出函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x-2}+x$的最小值即可；
（Ⅱ）討論a=0和a≠0時，不等式ax²+ax+a-1＜0的解集為R時，求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由x＞2得x-2＞0，
∴$f（x）=\frac{1}{x-2}+x=\frac{1}{x-2}+（{x-2}）+2≥2\sqrt{\frac{1}{{（{x-2}）}}（{x-2}）}+2=4$，…（3分）
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{x-2}=x-2$，即x=3時取等號，
∴函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x-2}+x$的值域為[4，+∞）；  …（5分）
（Ⅱ）①當(dāng)a=0時，原不等式化為-1＜0，滿足條件； …（6分）
②當(dāng)a≠0時，要使不等式ax²+ax+a-1＜0的解集為R，
需滿足$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\△={a^2}-4a（{a-1}）＜0\end{array}\right.$，
解得a＜0；         …（9分）
綜合①、②可得，實數(shù)a的取值范圍為a≤0．…（10分）

點評 本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是中檔題．