Question

16．函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）處的切線的斜率分別是k_A，k_B，規(guī)定φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB{|}^{2}}$叫做曲線y=f（x）在點A，B之間的“平方彎曲度”，設(shè)曲線y=e^x+x上不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁-x₂=1，則φ（A，B）的最大值為$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)定義得出φ（A，B）的解析式，利用基本不等式求出最大值．

解答 解：k_A-k_B=（e${\;}^{{x}_{1}}$+1）-（e${\;}^{{x}_{2}}$+1）=e${\;}^{{x}_{1}}$-e${\;}^{{x}_{2}}$=e${\;}^{{x}_{2}}$（e-1），
|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²+[（e${\;}^{{x}_{1}}$-e${\;}^{{x}_{2}}$）+（x₁-x₂）]²=1+[e${\;}^{{x}_{2}}$（e-1）+1]²
=e${\;}^{2{x}_{2}}$（e-1）²+2e${\;}^{{x}_{2}}$（e-1）+2，
∴φ（A，B）=$\frac{{e}^{{x}_{2}}（e-1）}{{e}^{2{x}_{2}}（e-1）^{2}+2{e}^{{x}_{2}}（e-1）+2}$=$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}（e-1）+\frac{2}{{e}^{{x}_{2}}（e-1）}+2}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}+2}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，
當且僅當e${\;}^{{x}_{2}}$（e-1）=$\frac{2}{{e}^{{x}_{2}}（e-1）}$即x₂=ln$\frac{\sqrt{2}}{e-1}$時取等號．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)最值的計算，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．