Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為a＞xln x-x³．令g（x）=xln x-x³，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意知f（x）的定義域為（0，+∞），
且f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{x2}$=$\frac{x+a}{x2}$，
當a≥0時，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
當a＜0時，令f′（x）＞0，x＞-a，
令f′（x）＜0，0＜x＜-a，
∴增區(qū)間為（-a，+∞），減區(qū)間為（0，-a）；
（Ⅱ）∵f（x）＜x²，
∴l(xiāng)n x-$\frac{a}{x}$＜x²，
又x＞0，
∴a＞xln x-x³，
令g（x）=xln x-x³，h（x）=g′（x）=1+ln x-3x²，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-6x=$\frac{1-6x2}{x}$，
∵x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，
∴h（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（x）＜h（1）=-2＜0，即g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上也是減函數(shù)，
g（x）＜g（1）=-1，
∴當a≥-1時，f（x）x²在（1，+∞）上恒成立，
故a的取值范圍是[-1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．