Question

10．函數(shù)y=3cos（kx+$\frac{π}{4}$）（k∈N₊），若對(duì)任意的m∈R，在[m，m+1]之間f（x）至少取得最大值、最小值各一次，求實(shí)數(shù)k的最小值，并就最小的k值求出最小正周期及對(duì)稱(chēng)中心．

Answer 1

分析 由函數(shù)y=3cos（kx+$\frac{π}{4}$）在區(qū)間[m，m+1]（m∈R）上至少有一個(gè)最大值和最小值，可得T=$\frac{2π}{k}$≤1，由此求得實(shí)數(shù)k的最小值；把k代入函數(shù)解析式，進(jìn)一步求出周期；再由相位的終邊落在y軸上求得x值，則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心可求．

解答 解：函數(shù)y=3cos（kx+$\frac{π}{4}$）在區(qū)間[m，m+1]（m∈R）上至少有一個(gè)最大值和最小值，
則函數(shù)f（x）的最小正周期一定不大于（m+1）-m=1，
∴T=$\frac{2π}{k}$≤1，
∴k≥2π≈2×3.14=6.28，
∴k的最小自然數(shù)為7；
當(dāng)k=7時(shí)，y=3cos（7x+$\frac{π}{4}$），
函數(shù)的最小正周期$T=\frac{2π}{7}$；
由7x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+nπ，n∈Z$，解得$x=\frac{π}{28}+\frac{nπ}{7}，n∈Z$．
∴函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為（$\frac{π}{28}+\frac{nπ}{7}，0$），n∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的周期及其求法，考查了三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，理解在[m，m+1]之間f（x）至少取得最大值、最小值各一次是解答此題的關(guān)鍵，是中檔題．