Question

4．若函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5在區(qū)間（$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$）上既不是單調(diào)遞增函數(shù)，也不是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，利用已知條件轉(zhuǎn)化為導函數(shù)的零點問題，求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5，
可得f′（x）=3x²+2ax-2，
函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5在區(qū)間（$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$）上既不是單調(diào)遞增函數(shù)，也不是單調(diào)遞減函數(shù)，
可知導函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，
由f′（$\frac{1}{3}$）f′（$\frac{1}{2}$）＜0，
即：[3×$（\frac{1}{3}）^{2}+2a×\frac{1}{3}-2$][3×${（\frac{1}{2}）}^{2}+2a×\frac{1}{2}-2$]＜0，
得：a∈（$\frac{5}{4}，\frac{5}{2}$）．
實數(shù)a的取值范圍：（$\frac{5}{4}，\frac{5}{2}$）．

點評 本題考查函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，導數(shù)的綜合應用，考查計算能力．