Question

20．對于給定的正數(shù)K，定義函${f_K}（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x），f（x）≤K\\ K，f（x）＞K\end{array}\right.$．已知函數(shù)$f（x）={（\frac{1}{3}）^{{x^2}-4x}}（0≤x＜5）$，對其定義域內(nèi)的任意x，恒有f_k（x）=f（x），則（　�。�

• A． K的最小值為$\frac{1}{243}$
• B． K的最大值為$\frac{1}{243}$
• C． K的最小值為81
• D． K的最大值為81

Answer 1

分析 由已知條件可得，K≥f（x）在[0，5）恒成立，即K≥f（x）_max，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)f（x）的最小值，從而可求

解答 解：因為對于任意的x∈[0，5），恒有f_k（x）=f（x），
由已知條件可得，K≥f（x）在[0，5）恒成立，
∴K≥f（x）_max，
設(shè)t=x²-4x=（t-2）²-4，
∴t=x²-4x，在[0，2）上單調(diào)遞減，在[2，5）上單調(diào)遞增，
∵y=$（\frac{1}{3}）^{x}$在R上為減函數(shù)，
∴f（x）=$（\frac{1}{3}）^{t}$在[0，2）上單調(diào)遞增，在[2，5）上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（2）=81，
∴K≥81，
即k的最小值為81，
故選：C．

點評 本題以新定義為載體，主要考查了閱讀、轉(zhuǎn)化的能力，解決本題的關(guān)鍵是利用已知定義轉(zhuǎn)化為函數(shù)的恒成立問題，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可進行求解．