Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A，B，C是圓x²+y²=1上相異三點，若存在正實數(shù)λ，? 使得 $\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，則λ²+（?-3）²的取值范圍是（　�。�

• A． [0，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． （2，8）
• D． （8，+∞）

Answer 1

分析 B，O，C三點不可能在同一直線上，從而$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}$=cos∠BOC∈（-1，1），推導(dǎo)出${λ}^{2}=1+{μ}^{2}-2μ\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}$，記f（μ）=λ²+（μ-3）²．則f（μ）=2${μ}^{2}-6μ-2μ\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}+10$，由此能求出λ²+（?-3）²的取值范圍．

解答 解：∵A，B，C是圓x²+y²=1上相異三點，∴依題意B，O，C三點不可能在同一直線上，
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OC}$|•|$\overrightarrow{OB}$|cos∠BOC=cos∠BOC∈（-1，1），
又∵存在正實數(shù)λ，? 使得 $\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，∴$λ\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-μ\overrightarrow{OB}$，
∴${λ}^{2}=1+{μ}^{2}-2μ\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}$，
記f（μ）=λ²+（μ-3）²．
則f（μ）=1+μ²-2$μ\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}$+（μ-3）²=2${μ}^{2}-6μ-2μ\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}+10$，
∴f（μ）＞2μ²-8μ+10=2（μ-2）²+2≥2，且f（μ）＜2μ²-4μ+10=2（μ-1）²+8 無最大值，
故λ²+（?-3）²的取值范圍是（2，+∞）．

點評 本題考查代數(shù)式的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的方程、直線方程、向量的數(shù)量積的性質(zhì)的合理運用．