Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，$AD=CD=\sqrt{7}$，$PA=\sqrt{3}$，∠ABC=120°，G為線段PC上的點(diǎn)．
（1）若G是PC的中點(diǎn)，
①求證：PA∥平面GBD
②求DG與平面APC所成的角的正切值；
（2）若G滿足PC⊥面GBD，求$\frac{PG}{GC}$的值．

Answer 1

分析 （1）①設(shè)AC交BD于O，連接MO，推導(dǎo)出PA∥GO，由此能證明PA∥平面BGD．
②推導(dǎo)出PA⊥DO，AC⊥DO，則∠DGO為直線DG與平面PAC所成的角，由此能求出DG與平面APC所成的角的正切值．
（2）若PC⊥面GBD，則PC⊥GO，由△GCO∽△PAC，能求出結(jié)果．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）①在底面ABCD中，設(shè)AC交BD于O，連接MO，
由已知知：AC⊥BD，且O為AC中點(diǎn)，…（1分）
在△PAC中，G為PC中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn)，
∴PA∥GO，PA?平面BGD，GO?平面BGD，
∴PA∥平面BGD．…（4分）
解：②PA⊥平面ABCD，DO?平面ABCD，∴PA⊥DO，
又AC⊥DO，PA∩AC=A，∴DO⊥平面PAC，…（6分）
故∠DGO為直線DG與平面PAC所成的角，…（7分）
在△ABC中，AO=$\sqrt{3}$，在Rt△ADO中，DO=2，又GO=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△DGO中，tan∠DGO=$\frac{GO}{DO}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴DG與平面APC所成的角的正切值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．…（9分）
解：（2）若PC⊥面GBD，則PC⊥GO，
由△GCO∽△PAC…（10分）
解得：$GC=\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$，∴$\frac{PG}{GC}=\frac{3}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正切值的求法，考查線段比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．