Question

已知函數f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x，
（1）求f（x）的對稱軸方程；
（2）用“五點法”畫出函數f（x）在一個周期內的簡圖；
（3）若x∈[-

π

12

，

π

2

]，設函數g（x）=[f（x）]²+f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

考點：五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象,兩角和與差的余弦函數,兩角和與差的正弦函數,正弦函數的定義域和值域

專題：綜合題,三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用二倍角公式，結合輔助角公式，化簡函數，即可求f（x）的對稱軸方程；
（2）作出五點，即可得到函數f（x）在一個周期內的簡圖；
（3）換元，利用配方法，即可求g（x）的值域．

解答： 解：（1）f(x)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)
…（2分）
令2x-

π

6

=

π

2

+kπ，k∈Z，得x=

π

3

+

kπ

2

，k∈Z，
∴所求函數對稱軸方程為x=

π

3

+

kπ

2

，k∈Z…（4分）
（2）列表

2x- π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	π 12	π 3	7π 12	5π 6	13π 12
y	0	1	0	-1	0

（3）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，則2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
∴sin(2x-

π

6

)∈[-

3

2

，1]
設t=sin(2x-

π

6

)∈[-

3

2

，1]，則函數y=g(x)=t2+t=(t+

1

2

)2-

1

4

當t=-

1

2

時，ymin=-

1

4

；當t=1時，y_max=2，
即所求函數g（x）的值域為[-

1

4

，2]…（12分）

點評：本題考查三角函數的化簡，考查函數的圖象，考查函數的值域，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．