Question

已知將圓x²+y²=8上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮到原來的

1

2

，對應(yīng)的橫坐標(biāo)不變，得到曲線C；經(jīng)過點(diǎn)M（2，1）且平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），直線l與曲線C交于A、B兩個不同點(diǎn)．
（1）求曲線C的方程；
（2）求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）在曲線C上任取一個動點(diǎn)P（x，y），根據(jù)圖象的變換可知點(diǎn)（x，2y）在圓x²+y²=8上．代入圓方程即可求得x和y的關(guān)系式，即曲線C的方程．
（2）根據(jù)題意可得直線l的方程，進(jìn)而與橢圓方程聯(lián)立，消去y，進(jìn)而根據(jù)判別式大于0求得m的范圍，進(jìn)而根據(jù)m≠0，最后綜合可得答案．

解答： 解：（1）在曲線C上任取一個動點(diǎn)P（x，y），
則點(diǎn)（x，2y）在圓x²+y²=8上．…（3分）
所以有x²+（2y）²=8．整理得曲線C的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．…（6分）
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，又KOM=

1

2

，
∴直線l的方程為y=

1

2

x+m．…（9分）
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1.

，得 x²+2mx+2m²-4=0…（10分）
∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點(diǎn)，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，…（12分）
解得-2＜m＜2且m≠0．
∴m的取值范圍是-2＜m＜0或0＜m＜2．…（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的關(guān)系．考查了學(xué)生分析問題的能力及數(shù)學(xué)化歸思想．