Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n-a_n}是等比數(shù)列，且b₂=7，b₅=91，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的前n項和,等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）由于b₂-a₂=7-4=3，b₅-a₅=91-10=81，設(shè)等比數(shù)列{b_n-a_n}的公比為q，可得81=3q³，解得q=3．可得b_n-a_n=(b2-a2)qn-2．

解答： 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，
∵a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，
∴

a

2 4

=a2a8，
∴（2+3d）²=（2+d）（2+7d），
化為d²-2d=0，d≠0．
解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（II）b₂-a₂=7-4=3，
b₅-a₅=91-10=81，
設(shè)等比數(shù)列{b_n-a_n}的公比為q，
則81=3q³，解得q=3．
∴b_n-a_n=(b2-a2)qn-2=3×3^n-2=3^n-1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=

3n-1

3-1

=

1

2

(3n-1)．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．