Question

某地發(fā)生地質(zhì)災害，使當?shù)氐淖詠硭�受到了污染，某部門對水質(zhì)檢測后，決定往水中投放一種藥劑來凈化水質(zhì)．已知每投放質(zhì)量為m的藥劑后，經(jīng)過x天該藥劑在水中釋放的濃度y（毫克/升） 滿足y=mf（x），其中f（x）=

x2 16 +2(0＜x≤4) x+14 2x-2   (x＞4)

，當藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升） 時稱為有效凈化；當藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升） 且不高于10（毫克/升）時稱為最佳凈化．
（1）如果投放的藥劑質(zhì)量為m=4，試問自來水達到有效凈化一共可持續(xù)幾天？
（2）如果投放的藥劑質(zhì)量為m，為了使在7天（從投放藥劑算起包括7天）之內(nèi)的自來水達到最佳凈化，試確定應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量m的最小值．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意，寫出y=4f（x）=

x2 4 +8(0＜x≤4) 2x+28 x-1 (x＞4)

，再對每一段考慮大于等于4，解出x的范圍，求并集即可；
（2）由y=m•f（x）=

mx2 16 +2m (0＜x≤4) m(x+14) 2x-2 (x＞4)

，確定各段的單調(diào)性，求出值域，再求并集，為使4≤y≤10恒成立，則4≤y_min，且10≥y_max即可．

解答： 解：（1）由題意，當藥劑質(zhì)量為m=4，所以y=4f（x）=

x2 4 +8(0＜x≤4) 2x+28 x-1 (x＞4)

，
當0＜x≤4時

x2

4

+8≥4，顯然符合題意．
當x＞4時

2x+28

x-1

≥4，解得4＜x≤16，
綜上0＜x≤16．
所以自來水達到有效凈化一共可持續(xù)16天．
（2）由y=m•f（x）=

mx2 16 +2m (0＜x≤4) m(x+14) 2x-2 (x＞4)

，得
在區(qū)間（0，4]上單調(diào)遞增，即2m＜y≤3m；
在區(qū)間（4，7]上單調(diào)遞減，即

7m

4

≤y＜3m，
綜上

7m

4

≤y≤3m，
為使4≤y≤10恒成立，只要

7m

4

≥4且3m≤10即可，
即

16

7

≤m≤

10

3

．
所以應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量m的最小值為

16

7

．

點評：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用：求值域，注意函數(shù)的各段解析式，屬于中檔題．