Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R），其中a∈R．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率；
（2）當(dāng)a≠

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時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）抓住兩點(diǎn)①切點(diǎn)是公共點(diǎn)，代入曲線方程求出f（1）的值；②切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切點(diǎn)的斜率．
（2）先求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零找到所有可能的極值點(diǎn)，再通過列表法具體判斷，注意對(duì)極值點(diǎn)大小的討論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²e^x，f′（x）=（x²+2x）e^x，故f′（1）=3e．
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為3e．
（2）f′（x）=[x²+（a+2）x-2a²+4a]e^x=（x+2a）•[x-（a-2）]e^x，
令f′（x）=0，解得x=-2a，或x=a-2，
由a≠

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知，-2a≠a-2．
以下分兩種情況討論：
①若a＞

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，則-2a＜a-2，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2a）	-2a	（-2a，a-2）	a-2	（a-2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）上是增函數(shù)，在（-2a，a-2）上是減函數(shù)．
函數(shù)f（x）在x=-2a處取得極大值為f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a．
函數(shù)f（x）在x=a-2處取得極小值為f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）e^a-2．
②若a＜

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，則-2a＞a-2，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，a-2）	a-2	（a-2，-2a）	-2a	（-2a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以f（x）在（-∞，a-2），（-2a，+∞）上是增函數(shù)，在（a-2，-2a）上是減函數(shù)．
函數(shù)f（x）在x=a-2處取得極大值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）e^a-2．
函數(shù)f（x）在x=-2a處取得極小值f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a．

點(diǎn)評(píng)：切線問題是高考的熱點(diǎn)，難度不大，只要抓住切點(diǎn)滿足的兩個(gè)條件，一般都能解決問題；第二問研究極值點(diǎn)一般要列表來解決問題．