【題目】已知函數(shù)

(1)探究函數(shù)上的單調(diào)性;

(2)若關于的不等式上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)當時,函數(shù)上單調(diào)遞增;當時,函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當時,函數(shù)上單調(diào)遞減;

(2).

【解析】

(1)對函數(shù)求導后,對分成三類,討論函數(shù)的單調(diào)性.(2)將原不等式轉化為當時,恒成立,構造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,由此求得的取值范圍.

(1)依題意,,

時,,故;

時,,故當時,,當時,

時,,故;

綜上:當時,函數(shù)上單調(diào)遞增;

時,函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;

時,函數(shù)上單調(diào)遞減;

(2)由題意得,當時,恒成立;

,

求導得,

,則

因為,所以,所以,

所以上單調(diào)遞增,即上單調(diào)遞增,

所以;

①當時,,此時,上單調(diào)遞增,

,所以恒成立,滿足題意;

②當時,

;

根據(jù)零點存在性定理可知,存在,使得.

時,單調(diào)遞減;

時,,單調(diào)遞增.

所以有,這與恒成立矛盾,舍去;

綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.

練習冊系列答案
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