Question

1．已知x滿足log${\;}_{\frac{1}{2}}$x²≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2），求函數(shù)f（x）=log₂$\frac{x}{4}$•log₂$\frac{x}{2}$的值域．

Answer 1

分析 x滿足log${\;}_{\frac{1}{2}}$x²≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2），可得0＜x²≤3x-2，可得x的取值范圍．化簡函數(shù)f（x）=$（lo{g}_{2}x-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵x滿足log${\;}_{\frac{1}{2}}$x²≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2），
∴0＜x²≤3x-2，
解得1≤x≤2．
∴函數(shù)f（x）=log₂$\frac{x}{4}$•log₂$\frac{x}{2}$=（log₂x-2）（log₂x-1）=$（lo{g}_{2}x）^{2}$-3log₂x+2
=$（lo{g}_{2}x-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$，
∵1≤x≤2，
∴0≤log₂x≤1，
∴f（1）≤f（x）≤f（2），
∴0≤f（x）≤2．
∴函數(shù)f（x）=log₂$\frac{x}{4}$•log₂$\frac{x}{2}$的值域為[0，2]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．