Question

10．當(dāng)a為何值時(shí)，不等式log${\;}_{\frac{1}{a}}$（$\sqrt{{x}^{2}+ax+5}$+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0有且只有一個(gè)解．

Answer 1

分析 對(duì)a討論，a＞1和0＜a＜1兩種情況，運(yùn)用對(duì)數(shù)的換底公式，全部以a為底，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，及換元法，令f（t）=log_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5，判斷單調(diào)性，再由二次不等式的解法與判別式的關(guān)系，即可得到所求范圍

解答 解：①當(dāng)a＞1時(shí)，log${\;}_{\frac{1}{a}}$（$\sqrt{{x}^{2}+ax+5}$+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0，
即為-log_a（$\sqrt{{x}^{2}+ax+5}$+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0，
令$\sqrt{{x}^{2}+ax+5}$=t（t≥0），則-log_a（t+1）•log₅（1+t²）+log_a3≥0，
由于log_a3＞0，log_a5＞0，
則有l(wèi)og_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5≤0，
令f（t）=log_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5，則f（t）遞增，
且f（2）=0，即有f（t）≤f（2），即有t≤2．
即有0≤x²+ax+5≤4，由于只有一解，則判別式a²-4=0，解得，a=2；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log${\;}_{\frac{1}{a}}$（$\sqrt{{x}^{2}+ax+5}$+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0，
即為-log_a（$\sqrt{{x}^{2}+ax+5}$+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0，
令$\sqrt{{x}^{2}+ax+5}$=t（t≥0），則-log_a（t+1）•log₅（1+t²）+log_a3≥0，
由于log_a3＜0，log_a5＜0，
則有l(wèi)og_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5≥0，
令f（t）=log_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5，則f（t）遞減，
且f（2）=0，即有f（t）≥f（2），即有t≤2．
即有x²+ax+5≤4，由于判別式a²-4＜0，則不等式的解集為∅．
綜上可得，a的取值范圍為{2}，不等式有且只有一個(gè)解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)不等式的解法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算化簡能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．