Question

（2013•楚雄州模擬）已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中a為常數(shù)，設(shè)e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當a=-1時，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值為-3，求a的值；
（3）當a=-1時，試推斷方程|f（x）|=

lnx

x

+

1

2

是否有實數(shù)解．

Answer 1

分析：（1）在定義域（0，+∞）內(nèi)對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，求其極大值，若是唯一極值點，則極大值即為最大值．
（2）在定義域（0，+∞）內(nèi)對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，對a進行分類討論并判斷其單調(diào)性，根據(jù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的單調(diào)性求其最大值，并判斷其最大值是否為-3，若是就可求出相應(yīng)的最大值．
（3）根據(jù)（1）可求出|f（x）|的值域，通過求導(dǎo)可求出函數(shù)g（x）═

lnx

x

+

1

2

的值域，通過比較上述兩個函數(shù)的值域，就可判斷出方程|f（x）|=

lnx

x

+

1

2

是否有實數(shù)解．

解答：解：（1）易知f（x）定義域為（0，+∞），
當a=-1時，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

，令f^′（x）=0，得x=1．
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．
f（x）_max=f（1）=-1．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最大值為-1．
（2）∵f′（x）=a+

1

x

，x∈（0，e]，

1

x

∈[

1

e

，+∞)．
①若a≥-

1

e

，則f′（x）≥0，從而f（x）在（0，e]上增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1≥0，不合題意．
②若a＜-

1

e

，則由f′（x）＞0⇒a+

1

x

＞0，即0＜x＜-

1

a

由f^′（x）＜0⇒a+

1

x

＜0，即-

1

a

＜x≤e．
從而f（x）在(0，-

1

a

)上增函數(shù)，在(-

1

a

，e)為減函數(shù)
∴f（x）_max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)
令-1+ln(-

1

a

)=-3，則ln(-

1

a

)=-2
∴-

1

a

=e^-2，即a=-e²．∵-e²＜-

1

e

，∴a=-e²為所求．
（3）由（1）知當a=-1時f（x）_max=f（1）=-1，
∴|f（x）|≥1．
又令g（x）=

lnx

x

+

1

2

，g′（x）=

1-lnx

x2

，令g′（x）=0，得x=e，
當0＜x＜e時，g′（x）＞0，g（x）  在（0，e）單調(diào)遞增；
當x＞e時，g′（x）＜0，g（x） 在（e，+∞）單調(diào)遞減．
∴g（x）_max=g（e）=

1

e

+

1

2

＜1，∴g（x）＜1，
∴|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞

lnx

x

+

1

2

．
∴方程|f（x）|=

lnx

x

+

1

2

沒有實數(shù)解．

點評：本題先通過對函數(shù)求導(dǎo)，求其極值，進而在求其最值及值域，用到分類討論的思想方法．