Question

若函數(shù)f（x）滿足對于x∈[n，m]（m＞n）時有

n

k

≤f（x）≤km恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間[n，m]（m＞n）上是“被k限制”的，若函數(shù)f（x）=x²-ax+a²在區(qū)間[

1

a

，a]（a＞0）上是“被2限制”的，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（1，

  2

  ]
• B、（1，

  3	3 2

  ]
• C、（1，2]
• D、[

  3	3 2

  ，2]

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：根據(jù)題意得a＞1；求出x∈[

1

a

，a]時，f（x）的取值范圍①，再由

1

2a

≤f（x）≤2a②，
由①②得不等式組，求出a的取值范圍．

解答： 解：根據(jù)題意，∵a＞0，且

1

a

＜a，∴a＞1；
f（x）=x²-ax+a²=(x-

a

2

)2+

3a2

4

≥

3a2

4

，
（Ⅰ）當

a

2

∈[

1

a

，a]，即a≥

2

時，在x=

a

2

時，f（x）取得最小值

3a2

4

；
又∵（

a

2

-

1

a

）-（a-

a

2

）=-

1

a

＜0，
∴x=a時，f（x）取得最大值a²；
∴f（x）的取值范圍是[

3a2

4

，a²]①；
又∵

1

2a

≤f（x）≤2a②；
∴

1 2a ≤ 3a2 4 a2≤2a

，
解得

3	2 3

≤a≤2；
∴

2

≤a≤2；
（Ⅱ）當

a

2

＜

1

a

，即1＜a＜

2

時，
f（x）在[

1

a

，a]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（

1

a

）=

1

a2

-1+a²，最大值是f（a）=a²；
∴f（x）的值域是[

1

a2

-1+a²，a²]③；
又∵

1

2a

≤f（x）≤2a②；
∴

1 2a ≤ 1 a2 -1+a2 a2≤2a

；
解得1＜a＜

2

；
綜上，a的取值范圍是{a|1＜a≤2}．
故選：C．

點評：本題考查了新定義的問題以及函數(shù)的應用問題，解題時應根據(jù)題意，求出函數(shù)f（x）的取值范圍，列不等式組，求出a的取值范圍．