Question

已知

a

=（

3

，cosx），

b

=（cos²x，sinx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

3

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

4

]，求函數(shù)f（x）的取值范圍；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移可使其對(duì)應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)？

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，先利用平面向量點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式計(jì)算出

a

•

b

的值，在利用三角函數(shù)兩角和公式和三角函數(shù)的性質(zhì)求其單調(diào)性．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）所化簡(jiǎn)的結(jié)果，再根據(jù)定義域和三角函數(shù)討論函數(shù)的最值．
（Ⅲ）利用圖象平移相關(guān)知識(shí)即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

=

3

(

1+cos2x

2

)+

1

2

sin2x-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)
∴由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]k∈Z（5分）
(2)∵x∈[0，

π

4

]∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]
∴當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

即x=

π

12

時(shí)f(x)max=1
當(dāng)2x+

π

3

=

5π

6

即x=

π

4

時(shí)f(x)min=

1

2

∴

1

2

≤f(x)≤1(2)∵x∈[0，

π

4

]∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]
∴當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

即x=

π

12

時(shí)f(x)max=1
當(dāng)2x+

π

3

=

5π

6

即x=

π

4

時(shí)f(x)min=

1

2

∴

1

2

≤f(x)≤1
（3）當(dāng)f（x）的圖象上所有的點(diǎn)向右平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=sin2x的圖象，則其對(duì)應(yīng)的函數(shù)即為奇函數(shù)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等相關(guān)性質(zhì)．