在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知asin2
B
2
+bsin2
A
2
=
c
2

(Ⅰ)求證:a,c,b成等差數(shù)列;
(Ⅱ)若a-b=4,△ABC的最大內(nèi)角為120°,求△ABC的面積.
分析:(I)利用正弦定理和三角函數(shù)的降冪公式,化簡已知等式得sinA(1-cosB)+sinB(1-cosA)=sinC,再用誘導(dǎo)公式sinC=sin(A+B),化簡整理得到sinA+sinB=2sinC,即得a+b=2c,故a,c,b為等差數(shù)列;
(II)將a-b=4與a+b=2c聯(lián)解,得到a=c+2且b=c-2,從而得到a為最大邊、A為最大角等于120°,再利用余弦定理加以計(jì)算,得出b、c的長,利用正弦定理的面積公式即可算出△ABC的面積.
解答:解:(Ⅰ)由正弦定理和降冪公式,可得
asin2
B
2
+bsin2
A
2
=
c
2
化為:sinA•
1-cosB
2
+sinB•
1-cosA
2
=
1
2
sinC

即sinA(1-cosB)+sinB(1-cosA)=sinC,結(jié)合sinC=sin(A+B)
得sinA-sinAcosB+sinB-cosAsinB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
∴sinA+sinB=2(sinAcosB+cosAsinB)=2sin(A+B)=2sinC
即sinA+sinB=2sinC,
再由正弦定理,得a+b=2c,故a,c,b為等差數(shù)列…(6分)
(Ⅱ)∵a-b=4,且a+b=2c
∴聯(lián)列
a+b=2c
a-b=4
可得
a=c+2
b=c-2
,
∵最大內(nèi)角為120°,且a為最大邊
∴cosA=cos120°=
b2+c2-a2
2bc
=-
1
2
,解之得c=5且b=3…(10分)
故△ABC的面積S△ABC=
1
2
bcsinA=
15
4
3
…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題給出三角形的邊角關(guān)系式,求三邊的等差關(guān)系并依此求三角形的面積.著重考查了三角恒等變換公式、正弦定理和三角形的面積求法等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若b2+c2-a2=
3
bc
,且b=
3
a
,則下列關(guān)系一定不成立的是( �。�
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知B=60°,cos(B+C)=-
1114

(1)求cosC的值;
(2)若bcosC+acosB=5,求△ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且bsinA=
3
acosB

(1)求角B的大��;
(2)若a=4,c=3,D為BC的中點(diǎn),求△ABC的面積及AD的長度.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA

(1)求∠A的值;
(2)求用角B表示
2
sinB-cosC
,并求它的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊的長分別為a,b,c,且a=
5
,b=3,sinC=2sinA
,則sinA=
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案
闂佺ǹ楠忛幏锟� 闂傚倸鍋婇幏锟�