Question

問題“求方程3^x+4^x=5^x的解”有如下的思路：方程3^x+4^x=5^x可變?yōu)?span id="bhzg0zu" class="MathJye">(

3

5

)x+(

4

5

)x=1，考察函數(shù)f（x）=(

3

5

)x+(

4

5

)x可知，f（2）=1，且函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，∴原方程有唯一解x=2．仿照此解法可得到不等式：x⁶-（2x+3）＞（2x+3）³-x²的解是

{x|x＜-1或x＞3}

．

Answer 1

分析：把給出的不等式變形為x⁶+x²＞（2x+3）³+（2x+3），然后引入函數(shù)f（x）=x³+x，由函數(shù)的單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的不等式，求解不等式得答案．

解答：解：把不等式：x⁶-（2x+3）＞（2x+3）³-x²變形，
得到x⁶+x²＞（2x+3）³+（2x+3）．
考察函數(shù)f（x）=x³+x，函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，
故f（u）＞f（v）?u＞v．
不等式x⁶+x²＞（2x+3）³+（2x+3）中的x²看作u，2x+3看作v．
則有x²＞2x+3，解得x＜-1或x＞3．
故答案為x＜-1或x＞3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的合情推理，解答的關(guān)鍵是把復(fù)雜的高次不等式通過合理變化，轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的不等式，這里構(gòu)造函數(shù)且利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解答該題的著眼點(diǎn)，此題是中檔題．