Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，點D是棱B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，D是棱B₁C₁的中點，可證得CC₁⊥A₁D，A₁D⊥B₁C₁，結合線面垂直的判定定理可得A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）以A為坐標原點，AB，AC，AA₁為x，y，z軸方向建立直角坐標系A-xyz，求出平面A₁DC的法向量和平面ACC₁A₁的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角D-A₁C-A的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）證明：因為側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
所以AA₁⊥平面ABC，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．
因為A₁D?平面A₁B₁C₁，所以CC₁⊥A₁D，
又因為A₁B₁=A₁C₁，D為B₁C₁中點，
所以A₁D⊥B₁C₁．
因為CC₁∩B₁C₁=C₁，
所以A₁D⊥平面BB₁C₁C．--------（6分）
（Ⅱ）因為側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA₁兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標系A-xyz．
設AB=1，則.，
設平面A₁DC的法向量為，則有，，x=-y=-z，
取x=1，得．
又因為，AB⊥平面ACC₁A₁，
所以平面ACC₁A₁的法向量為     ，因為二面角D-A₁C-A是鈍角，
所以，二面角D-A₁C-A的余弦值為．-------------（12分）
點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，（1）的關鍵是熟練掌握直三棱柱的幾何特征及線面垂直的判定定理，（2）的關鍵是求出平面A₁DC的法向量和平面ACC₁A₁的法向量，將二面角問題轉化為向量夾角問題．