Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項的和為S_n，且S_n=1-

1

2

bn.
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_nb_n，求證c_n+1≤c_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，求得a₃和a₅，則公差可求，進(jìn)而求得數(shù)列{a_n}，的通項公式，代入S_n=1-

1

2

bn.中根據(jù)
b_n=S_n-S_n-1求得n≥2時的

bn

bn-1

=

1

3

判斷出其為等比數(shù)列，公比為

1

3

進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得b_n．
（2）把（1）中求得的a_n和b_n代入c_n=a_nb_n，求得c_n，進(jìn)而可求得c_n+1-c_n求得結(jié)果小于等于0，原式得證．

解答：解：（1）∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，且數(shù)列{a_n}的公差d＞0，
∴a₃=5，a₅=9，公差d=

a5-a3

5-3

=2.
∴a_n=a₅+（n-5）d=2n-1．
又當(dāng)n=1時，有b₁=S₁=1-

1

2

b1，∴b1=

2

3

.
當(dāng)n≥2時，有bn=Sn-Sn-1=

1

2

(bn-1-bn)，∴

bn

bn-1

=

1

3

(n≥2).
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，b1=

2

3

，q=

1

3

.
∴bn=b1qn-1=

2

3n

.
（2）由（Ⅰ）知cn=anbn=

2(2n-1)

3n

，cn+1=

2(2n+1)

3n+1

，
∴cn+1-cn=

2(2n+1)

3n+1

-

2(2n-1)

3n

=

8(1-n)

3n+1

≤0.
∴c_n+1≤c_n．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的通項公式，屬基礎(chǔ)題．