Question

已知函數(shù)f（x）自變量取值區(qū)間A，若其值域區(qū)間也為A，則稱區(qū)間A為f（x）的保值區(qū)間．
（1）求函數(shù)f（x）=x²形如[n，+∞）（n∈R）的保值區(qū)間；
（2）g（x）=x-ln（x+m）的保值區(qū)間是[2，+∞），求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）若n＜0，則n=f（0）=0，矛盾．
若n≥0，則n=f（n）=n²，解得n=0或1，
所以f（x）的保值區(qū)間為[0，+∞）或[1，+∞）．
（2）因為g（x）=x-ln（x+m）的保值區(qū)間是[2，+∞），
所以2+m＞0，即m＞-2，
令g′（x）=1-＞0，得x＞1-m，
所以g（x）在（1-m，+∞）上為增函數(shù)，
同理可得g（x）在（-m，1-m）上為減函數(shù)．
若2≤1-m即m≤-1時，
則g（1-m）=2得m=-1滿足題意．
若m＞-1時，則g（2）=2，得m=-1，
所以滿足條件的m值為-1．
分析：（1）討論若n＜0，則n=f（0）=0，矛盾，則n只能大于等于0則得到n=n²，解得n=0或1即可求出f（x）的保值區(qū)間；
（2）根據(jù)g（x）的保值區(qū)間得到m的取值范圍，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的增減區(qū)間，2≤1-m即m≤-1時，則g（1-m）=2得m的值即可．
點評：考查學(xué)生求函數(shù)定義域、值域的能力，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性的能力．