Question

（2010•深圳模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的長(zhǎng)半軸是短半軸的

3

倍，直線(xiàn)x-y+

2

=0經(jīng)過(guò)
橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)一條直線(xiàn) l與橢圓C交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為

3

2

，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線(xiàn)x-y+

2

=0經(jīng)過(guò)橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，可求c．利用長(zhǎng)半軸是短半軸的

3

倍，可求橢圓C的方程；
 （2）分類(lèi)討論：AB⊥x軸時(shí)；AB與x軸不垂直，將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，進(jìn)而可求AB的長(zhǎng)，從而可表示△AOB面積，故可求面積的最大值．

解答：解：（1）x-y+

2

=0與x軸的交點(diǎn)為F：(-

2

， 0)，
∴c=

2

又 a=

3

b，c²=a²-b²=2
∴a=

3

，b=1
橢圓C的方程為：

x2

3

+y2=1．                             （5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，l： x=±

3

2

，A(

3

2

，

3

2

)、B(

3

2

，-

3

2

)
或A(-

3

2

，

3

2

)、B(-

3

2

，-

3

2

)
則：|AB|=

3

（6分）
②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+m．
由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)．
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，（8分）
△=（6km）²-12（3k²+1）（m²-1）=3（9k²+1）＞0
x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3(m2-1)

3k2+1

．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=-(

2

3k2+1

-1)2+4≤4．                 （12分）
當(dāng)且僅當(dāng)

2

3k2+1

-1=0，即k=±

3

3

時(shí)等號(hào)成立．
由①、②可知：|AB|_max=2．
∴當(dāng)|AB|最大時(shí)，△AOB面積取最大值S=

1

2

×|AB|max×

3

2

=

3

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓為載體，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是聯(lián)立方程，組成方程組，進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．