已知函數(shù)，其中常數(shù)a > 0．
(1) 當a = 4時，證明函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)；
(2) 求函數(shù)f(x)的最小值．
解：(1) 當時，，利用“定義法”證明。
(2)

試題分析：
思路分析：(1) 當時，，利用“定義法”證明。執(zhí)行“設、算、證、結(jié)”。
(2)應用均值定理及“對號函數(shù)”的單調(diào)性，分，即和，即兩種情況討論得到：。
解：(1) 當時，，
任取0<x1<x2≤2，則f(x1)–f(x2)=
因為0<x1<x2≤2，所以f(x1)–f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)
所以函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)；
(2)，當且僅當時等號成立，
當，即時，的最小值為，
當，即時，在上單調(diào)遞減，
所以當時，取得最小值為，
綜上所述：
點評：中檔題，本題綜合性較強，研究函數(shù)的單調(diào)性，可以利用導數(shù)，也可以利用常見函數(shù)的單調(diào)性。應用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”。
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分13分）某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時間僅能持續(xù)5個月，預測上市初期和后期會因供應不足使價格呈持續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求，使價格連續(xù)下跌．現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù)：①；②；③．（以上三式中均為常數(shù)，且）
（1）為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數(shù)(不必說明理由)
（2）若，，求出所選函數(shù)的解析式（注：函數(shù)定義域是．其中表示8月1日，表示9月1日，…，以此類推）；
（3）在（2）的條件下研究下面課題：為保證養(yǎng)殖戶的經(jīng)濟效益，當?shù)卣媱澰趦r格下跌期間積極拓寬外銷，請你預測該海鮮將在哪幾個月份內(nèi)價格下跌．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)滿足，且 在上恒成立.
(1)求的值；
(2)若,解不等式；
(3)是否存在實數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上有最小值？若存在，請求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，，其中為常數(shù)， ，函數(shù)的圖象與坐標軸交點處的切線為，函數(shù)的圖象與直線交點處的切線為，且。
（Ⅰ）若對任意的，不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.
（Ⅱ）對于函數(shù)和公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)。我們把 的值稱為兩函數(shù)在處的偏差。求證：函數(shù)和在其公共定義域的所有偏差都大于2.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設函數(shù)的定義域為D，如果，使 (C為常數(shù)成立，則稱函數(shù)在D上的均值為C. 給出下列四個函數(shù)：①；②；③；④，則滿足在其定義域上均值為1的函數(shù)的個數(shù)是（    ）
A．1          B．2           C．3            D．4

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設二次函數(shù)在[3,4]上至少有一個零點，求的最小值。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)（是不為零的實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）若曲線與有公共點，且在它們的某一公共點處有共同的切線，求k的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求此時k的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若函數(shù)f(x)在定義域D內(nèi)某區(qū)間I上是增函數(shù)，且在I上是減函數(shù)，則稱y＝f(x)在I 上是“弱增函數(shù)”．已知函數(shù)h(x)＝x2－(b－1)x＋b在(0，1]上是“弱增函數(shù)”，則實數(shù)b的值為         ．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù)，其中，區(qū)間
（Ⅰ）求的長度（注：區(qū)間的長度定義為）；
（Ⅱ）給定常數(shù)，當時，求長度的最小值.

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同步練習冊答案