已知函數(shù)，其中常數(shù)a > 0．
(1) 當(dāng)a = 4時(shí)，證明函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)；
(2) 求函數(shù)f(x)的最小值．
解：(1) 當(dāng)時(shí)，，利用“定義法”證明。
(2)

試題分析：
思路分析：(1) 當(dāng)時(shí)，，利用“定義法”證明。執(zhí)行“設(shè)、算、證、結(jié)”。
(2)應(yīng)用均值定理及“對(duì)號(hào)函數(shù)”的單調(diào)性，分，即和，即兩種情況討論得到：。
解：(1) 當(dāng)時(shí)，，
任取0<x1<x2≤2，則f(x1)–f(x2)=
因?yàn)?<x1<x2≤2，所以f(x1)–f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)
所以函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)；
(2)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
當(dāng)，即時(shí)，的最小值為，
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
綜上所述：
點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題綜合性較強(qiáng)，研究函數(shù)的單調(diào)性，可以利用導(dǎo)數(shù)，也可以利用常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性。應(yīng)用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分13分）某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月，預(yù)測(cè)上市初期和后期會(huì)因供應(yīng)不足使價(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中期又將出現(xiàn)供大于求，使價(jià)格連續(xù)下跌．現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù)：①；②；③．（以上三式中均為常數(shù)，且）
（1）為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢(shì)，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)(不必說(shuō)明理由)
（2）若，，求出所選函數(shù)的解析式（注：函數(shù)定義域是．其中表示8月1日，表示9月1日，…，以此類(lèi)推）；
（3）在（2）的條件下研究下面課題：為保證養(yǎng)殖戶(hù)的經(jīng)濟(jì)效益，當(dāng)?shù)卣?jì)劃在價(jià)格下跌期間積極拓寬外銷(xiāo)，請(qǐng)你預(yù)測(cè)該海鮮將在哪幾個(gè)月份內(nèi)價(jià)格下跌．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)滿足，且 在上恒成立.
(1)求的值；
(2)若,解不等式；
(3)是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上有最小值？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，，其中為常數(shù)， ，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線為，函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)處的切線為，且。
（Ⅰ）若對(duì)任意的，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
（Ⅱ）對(duì)于函數(shù)和公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)。我們把 的值稱(chēng)為兩函數(shù)在處的偏差。求證：函數(shù)和在其公共定義域的所有偏差都大于2.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，如果，使 (C為常數(shù)成立，則稱(chēng)函數(shù)在D上的均值為C. 給出下列四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④，則滿足在其定義域上均值為1的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（    ）
A．1          B．2           C．3            D．4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)二次函數(shù)在[3,4]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，求的最小值。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)（是不為零的實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）若曲線與有公共點(diǎn)，且在它們的某一公共點(diǎn)處有共同的切線，求k的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求此時(shí)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

若函數(shù)f(x)在定義域D內(nèi)某區(qū)間I上是增函數(shù)，且在I上是減函數(shù)，則稱(chēng)y＝f(x)在I 上是“弱增函數(shù)”．已知函數(shù)h(x)＝x2－(b－1)x＋b在(0，1]上是“弱增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)b的值為         ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)函數(shù)，其中，區(qū)間
（Ⅰ）求的長(zhǎng)度（注：區(qū)間的長(zhǎng)度定義為）；
（Ⅱ）給定常數(shù)，當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)度的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案