Question

1．已知$sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，sin（{α-β}）=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}，α，β$均為銳角，則cosβ=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 α，β的范圍得出α-β的范圍，然后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，由sin（α-β）和sinα的值，求出cos（α-β）和cosα的值，然后由β=α-（α-β），把所求的式子利用兩角差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入即可求出值．

解答 解：由$sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，sin（{α-β}）=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}，α，β$均為銳角，
得到α-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
所以cos（α-β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-β）}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則cosβ=cos[α-（α-β）]
=cos（α-β）cosα+sin（α-β）sinα=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}×$（-$\frac{\sqrt{10}}{10}$）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題．做題時(shí)注意角度的變換．