Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁D₁的中點(diǎn)，H為平面EDB
內(nèi)一點(diǎn)，=（2m，-2m，-m）（m＜0）．
（1）證明HC₁⊥平面EDB；
（2）求BC₁與平面EDB所成的角；
（3）若正方體的棱長(zhǎng)為a，求三棱錐A-EDB的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明HC₁⊥平面EDB即可利用線(xiàn)面垂直的判定定理即證明故需建立空間直角坐標(biāo)系求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)然后利用向量的數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算即可．
（2）要求BC₁與平面EDB所成的角可先求出BC₁與平面EDB的法向量所成的角θ然后利用直線(xiàn)與平面所成的角與直線(xiàn)與其法向量所成的角的關(guān)系即可得解而由第一問(wèn)可得即為平面EDB的法向量．
（3）要求三棱錐A-EDB的體積可輪換其頂點(diǎn)即求三棱錐E-ADB的體積．
解答：證明：（1）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則，
∵
∴
又∵DE∩DB=D
∴HC₁⊥平面EDB．
（2），設(shè)與所成的角為θ
∵
∴θ=45°．
由（1）知HC₁⊥平面EDB
∴∠C₁BH為BC₁與平面EDB所成的角
∴∠C₁BH=90°-45°=45°
（3）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用空間向量證明線(xiàn)面垂直以及求直線(xiàn)與平面所成的角并且附帶考查求三棱錐的體積．解題的關(guān)鍵是首先依據(jù)所給圖形建立空間直角坐標(biāo)系然后對(duì)于第一問(wèn)只需利用向量的數(shù)量積證明出即可說(shuō)明HC₁⊥平面EDB而對(duì)于第二問(wèn)可根據(jù)線(xiàn)面角向量的求法可先求根據(jù)向量的夾角公式求出與（由第一問(wèn)可得即為平面EDB的法向量）所成的角為θ然后根據(jù)cosθ＞0則BC₁與平面EDB所成的角為90°-θ，若cosθ＜0則BC₁與平面EDB所成的角θ-90°．第三問(wèn)可根據(jù)輪換三棱錐的頂點(diǎn)其體積不變可對(duì)要求三棱錐A-EDB的體積即求三棱錐E-ADB的體積．