Question

敘述橢圓的定義，并推導(dǎo)橢圓的標準方程．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先敘述橢圓的定義，再由已知條件恰當?shù)亟�立平面直角坐標系，利用兩點間距離公式能推導(dǎo)出橢圓的標準方程．

解答： 解：橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個定點F₁，F(xiàn)₂距離之和為定值（定值大于兩定點的距離）的點的集合（或軌跡）為橢圓．F₁，F(xiàn)₂稱為橢圓的兩個焦點．…（3分）
設(shè)|F₁F₂|=2c（c＞0），定值為2a，（a＞0），a＞c＞0，
取F₁F₂所在的直線為x軸，線段F₁F₂的中點為坐標原點O，
建立直角坐標系，設(shè)動點M（x，y），
則F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）…（5分）
由已知條件有|MF₁|+|MF₂|=2a，
將坐標代入有

(x+c)2+y2

+

(x-c)2+y2

=2a，…（7分）
化簡整理得：

x2

a2

+

y2

a2-c2

=1，
∵a＞c＞0，∴令a²-c²=b²，（b＞0）
∴

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），…10分
∴焦點在x軸的橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
如果取F₁F₂所在的直線為y軸，
則橢圓的標準方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．…（12分）

點評：本題考查橢圓定義的敘述，考查橢圓標準方程的推導(dǎo)，是中檔題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．