Question

已知函數(shù)f（x）=a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）及B（

π

2

，1）兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時恒有|f（x）|≤2，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a取題（1）中a范圍的最小整數(shù)值時，若存在實數(shù)m，n，φ，使mf（x）+nf（x-φ）=1對任意的x∈R恒成立，試求m，n，φ的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中條件，找到a，b，c之間的關(guān)系，可將函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，然后分類討論a取不同值時，|f（x）|≤2
的解集情況，綜合討論結(jié)果，即可得到答案．
（2）由題意可得a=-1，函數(shù)f（x）=-1+2

2

sin（x+

π

4

），2

2

msin（x+

π

4

）+2

2

n sin（x+

π

4

-∅）=1+m+n，對任意的x∈R恒成立，故有m=n=-

1

2

，且 sin（x+

π

4

）=-sin（x+

π

4

-∅），∅=2kπ+π，k∈z．

解答：解：（1）把點(diǎn)A（0，1）及B（

π

2

，1）的坐標(biāo)代入函數(shù)f（x）=a+bcosx+csinx可得
1=a+b，1=a+c，∴b=1-a，c=1-a，故 f（x）=a+（1-a）（sinx+cosx）=a+

2

（1-a）sin（x+

π

4

）．
∵0≤x≤

π

2

，則

π

4

≤x+

π

4

≤

3π

4

，∴

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1．
當(dāng)a＜1時，1≤f（x）≤

2

+（1-

2

）a，要使|f（x）|≤2，只須

2

+（1-

2

）a≤2，解得 a≥-

2

．
當(dāng) a＞1時，

2

+（1-

2

）a≤f（x）≤1，要使|f（x）|≤2，只須

2

+（1-

2

）a≥-2，解得 a≤4+3

2

，
故所求a的范圍是-

2

≤a≤4+3

2

．
（2）當(dāng)a取題（1）中a范圍的最小整數(shù)值-1時，函數(shù)f（x）=-1+2

2

sin（x+

π

4

），
mf（x）+nf（x-φ）=1對任意的x∈R恒成立，即 m[-1+2

2

sin（x+

π

4

）]+n[-1+2

2

sin（x+

π

4

-∅）]=1，
即 2

2

msin（x+

π

4

）+2

2

n sin（x+

π

4

-∅）=1+m+n，對任意的x∈R恒成立．
故有m=n=-

1

2

，且 sin（x+

π

4

）=-sin（x+

π

4

-∅），∴∅=2kπ+π，k∈z．
綜上，m=n=-

1

2

，∅=2kπ+π，k∈z．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，將函數(shù)解析式變形成正弦函數(shù)的形式是解答本題的關(guān)鍵．