Question

設(shè)f（x）是定義在實(shí)數(shù)R上的函數(shù)，任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1且f（-1）=

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．求：
（1）f（0）；
（2）證明：任意x，y∈R，x≠y，都有

f(x)-f(y)

x-y

＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）可得f（0）•f（0）=f（0），說明f（0）≠0后得出f（0）=1；
（2）先用單調(diào)性的定義證明函數(shù)是減函數(shù)．

解答： 解：（1）可得f（0）•f（0）=f（0），下面說明f（0）≠0：
若f（0）=0，f（-1）=f（0-1）=f（0）f（-1）=0，這與已知條件f（-1）＞1矛盾，故f（0）≠0，
∴f（0）=1；
（2）又對(duì)于任意x＞0，1=f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x），即f（x）f（-x）=1，而f（-x）＞1，∴f（x）＞0，
∴任意實(shí)數(shù)x，f（x）＞0
設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]
∵x₁-x₂＜0
∴f（x₁-x₂）＞1
∴f（x₁-x₂）-1＞0
對(duì)f（x₂）＞0
∴f（x₂）f[（x₁-x₂）-1]＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）故f（x）在R上是減函數(shù)，
故若x＞y，則f（x）＜f（y），∴x-y＞0時(shí)f（x）-f（y）＜0；
若x＜y，則f（x）＞f（y），∴x-y＜0時(shí)f（x）-f（y）＞0；
綜上任意x，y∈R，x≠y，都有

f(x)-f(y)

x-y

＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查靈活賦值求值的能力以及靈活變形證明函數(shù)單調(diào)性的能力．