Question

11．若函數(shù)f（x）=lnx+ax²-2在區(qū)間$（{\frac{1}{2}，2}）$內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)α的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2]
• B． （-2，+∞）
• C． （-2，-$\frac{1}{8}$）
• D． $[-\frac{1}{8}，+∞）$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號，轉(zhuǎn)化求解表達(dá)式的最小值，然后推出a的范圍．

解答 解：$f'（x）=\frac{1}{x}+2ax=\frac{{2a{x^2}+1}}{x}$，
2ax²+1＞0在$（{\frac{1}{2}，2}）$內(nèi)有解，
所以$a＞（-\frac{1}{2{x}^{2}}）_{min}$，
由于$x∈（{\frac{1}{2}，2}）$，所以${x^2}∈（{\frac{1}{4}，4}）$，
$（-\frac{1}{{2{x^2}}}）∈（{-2，-\frac{1}{8}}）$，所以a＞-2，
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．