Question

（2013•黃浦區(qū)二模）已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為2，且A1D=

13

．
（1）求該正四棱柱的體積；
（2）若E為線段A₁D的中點(diǎn)，求異面直線BE與AA₁所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）由題意可得AA₁的長度，代入柱體的體積公式可得答案；（2）設(shè)G是棱AD中點(diǎn)，可得∠GEB就是異面直線AA₁與BE所成的角，由三角形的知識可得tan∠GEB=

2

3

5

，由反正切函數(shù)可得角的大小．

解答：解：（1）如圖
在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AA₁⊥平面ABCD，AD

? ≠

平面ABCD，
∴AA₁⊥AD，故AA1=

13-4

=3，…（3分）
∴正四棱柱的體積為（2²）×3=12．  …（6分）
（2）設(shè)G是棱AD中點(diǎn)，連GE，GB，在△A₁AD中，
∵E，G分別為線段A₁D，AD的中點(diǎn)，
∴EG∥A₁A，且EG=

1

2

AA1=

3

2

，
∴∠GEB就是異面直線AA₁與BE所成的角． …（8分）
∵A₁A⊥平面ABCD，GB

? ≠

平面ABCD，∴AA₁⊥GB，
又EG∥A₁A，∴EG⊥BG，…（10分）
∵GE=

3

2

，BG=

1+22

=

5

，
∴tan∠GEB=

BG

GE

=

5

3 2

=

2

3

5

，故∠GEB=arctan

2 5

3

．
所以異面直線AA₁與BE所成角的大小為arctan

2 5

3

．      …（12分）

點(diǎn)評：本題考查棱柱的體積，以及異面直線所成的角，涉及反三角函數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題．