Question

設函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y=f（x-2010）的圖象關于點（2010，0）對稱．若實數(shù)x，y滿足不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）≤0，則x²+y²的最大值是

 

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Answer 1

考點：函數(shù)單調性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：首先依題意判斷函數(shù)的奇偶性．然后根據(jù)單調性及f（x²-6x）+f（y²-8y+24）≤0，得出新的關系式x²-6x≤-y²+8y-24，轉換成圓的方程，把不等式轉換成點到原點的距離．得出答案．

解答： 解：因為函數(shù)y=f（x-2010）的圖象關于點（2010，0）對稱，
所以函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，
即函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
則不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）≤0可化為：f（x²-6x）≤-f（y²-8y+24）=f（-y²+8y-24）
又由函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
所以x²-6x≤-y²+8y-24，即x²-6x+y²-8y+24≤0，
所以（x-3）²+（y-4）²≤1，
則（x，y）點在以（3，4）為圓心，以1為半徑的圓內，
而x²+y²表示的是圓內任一點到原點距離的平方，
所以（5-1）²=16≤x²+y²≤（5+1）²=36，
故x²+y²的最大值是事36，
故答案為：36．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的圖象的特征，代數(shù)式的幾何意義的轉化，此題巧妙地將函數(shù)的性質與圓的方程融合在一起進行考查，題目有一定的思維含量但計算量不大，考查了學生思維能力與運算能力以及靈活運用所學數(shù)學知識處理相關問題的能力．