Question

（2012•奉賢區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f0(x)=(

1

2

)|x|，f1(x)=|f0(x)-

1

2

|，fn(x)=|fn-1(x)-(

1

2

)n|，n≥1，n∈N，則方程fn(x)=(

1

n+2

)n有

2ⁿ⁺¹

個實數(shù)根．

Answer 1

分析：利用歸納法思想，先令n=1，可知方程2²=4個根，再考慮當(dāng)n=k+1時，會有f_k+1（x）=±[f_k（x）-(

1

2

)k]=(

1

k+1+2

)k+1，依此類推，每個方程去掉絕對值符號，都對應(yīng)兩個方程，而每個方程又會有兩個根，由此可得結(jié)論．

解答：解：先令n=1，則有：|f₀（x）-

1

2

|=

1

3

，∴(

1

2

)|x|=

5

6

或

1

6

，可知有2²=4個根；
于是當(dāng)n=k+1時，會有f_k+1（x）=±[f_k（x）-(

1

2

)k]=(

1

k+1+2

)k+1，依此類推，每個方程去掉絕對值符號，都對應(yīng)兩個方程，而每個方程又會有兩個根，從而可以得到有2ⁿ⁺¹個根．
故答案為：2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查函數(shù)的迭代，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．