【題目】如圖,已知底角為45°的等腰梯形ABCD,底邊BC長為12,腰長為4 ,當(dāng)一條垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(dòng)(與梯形ABCD有公共點(diǎn))時(shí),直線l把梯形分成兩部分.
(1)令BF=x(0<x<12),試寫出直線右邊部分的面積y與x的函數(shù)解析式;
(2)在(1)的條件下,令y=f(x).構(gòu)造函數(shù)g(x)= .
①判斷函數(shù)g(x)在(4,8)上的單調(diào)性;
②判斷函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)是否具有單調(diào)性,并說明理由.
【答案】
(1)解:過點(diǎn)A.D分別作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分別是G,H.
∵ABCD是等腰梯形,底角為45°,AB=4 cm,
∴BG=AG=DH=HC=4cm,
又∵BC=12cm,
∴AD=GH=4cm,
①當(dāng)點(diǎn)F在BG上時(shí),
即x∈(0,4]時(shí),f(x)=32﹣ x2;
②當(dāng)點(diǎn)F在GH上時(shí),
即x∈(4,8]時(shí),f(x)=8+4(8﹣x)=40﹣4x.
③當(dāng)點(diǎn)F在HC上時(shí),
即x∈(8,12)時(shí),y=S五邊形ABFED=S梯形ACD﹣S三角形CEF
f(x)= (12﹣x)2,
∴函數(shù)解析式為f(x)=
(2)解:g(x)= ,
①由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)g(x)在(4,8)上是減函數(shù).
②雖然g(x)在(0,4)和(4,8)單調(diào)遞減,
但是g(3.9)=24.395,g(4.1)=44.84,
∴g(3.9)<g(4.1).
因此函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性.
【解析】(1)可以通過分類討論明確圖形的特征,再根據(jù)圖形形狀求出函數(shù)的解析式;(2)可以求出函數(shù)g(x)的解析式,①由解析式即可得到判斷函數(shù)的單調(diào)性,②分別求出g(3.9)=24.395,g(4.1)=44.84,比較即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極大值點(diǎn)( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某大學(xué)自主招生考試中,所有選報(bào)Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試,成績分為, , , , 五個(gè)等級(jí).某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)如下圖所示,其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績?yōu)?/span>的考生有人.
(Ⅰ)求該考場考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績?yōu)?/span>的人數(shù).
(Ⅱ)若等級(jí), , , , 分別對應(yīng)分, 分, 分, 分, 分.
(。┣笤摽紙隹忌“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分.
(ⅱ)若該考場共有人得分大于分,其中有人分, 人分, 人分.
從這人中隨機(jī)抽取兩人,求兩人成績之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.
科目:數(shù)學(xué)與邏輯 | 科目:閱讀與表達(dá) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2acos2x+2 bsinxcosx,且f(0)=2,f( )= +1.
(1)求f(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若α≠β,α,β∈(0,π),且f(α)=f(β),求tan(α+β)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率為,分別是橢圓的上、下頂點(diǎn),.
(1)求橢圓的方程;
(2)過作直線與交于兩點(diǎn),求三角形面積的最大值(是坐標(biāo)原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若不等式(1﹣a)x2﹣4x+6>0的解集是{x|﹣3<x<1}.
(1)解不等式2x2+(2﹣a)x﹣a>0
(2)b為何值時(shí),ax2+bx+3≥0的解集為R.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
將圓上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,得曲線C.
(Ⅰ)寫出C的參數(shù)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與C的交點(diǎn)為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過線段的中點(diǎn)且與垂直的直線的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=﹣x3+ax,其中a∈R,g(x)=﹣ x ,且f(x)<g(x)在(0,1]上恒成立.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x﹣ .
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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