Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，a，b∈R，a≠0，b≠0，f（1）= ，且方程f（x）=x有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解；
（1）求a、b的值；
（2）當(dāng)x∈（ ， ]時(shí)，不等式（x+1）f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，且f（1）= ；

∴ ，即a+b=2；

又 只有一個(gè)實(shí)數(shù)解；

∴x 有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解為0；

∴b=1，a=1；

∴f（x）=

（2）解：∵x∈（ ， ]；

∴x+1＞0；

∴（x+1）f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立（1+m）x＞m2﹣1；

當(dāng)m+1＞0時(shí)，即m＞﹣1時(shí)，有m﹣1＜x恒成立m＜x+1m＜（x+1）min

∴﹣1＜m≤ ；

當(dāng)m+1＜0，即m＜﹣1時(shí)，同理可得m＞（x+1）max= ；

∴此時(shí)m不存在．

綜上：m∈（﹣1， ]

【解析】（1）根據(jù)題意，直接帶入f（1），同時(shí)考慮f（x）=x有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，故可求出a．b值；（2）當(dāng)x∈（ ， ]時(shí)，不等式（x+1）f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立，即可轉(zhuǎn)化為：（x+1）f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立（1+m）x＞m2﹣1；