已知曲線Cn：y=nx2，點(diǎn)Pn（xn，yn）（xn>0，yn>0）是曲線Cn上的點(diǎn)（n=l，2，…）。
（I）試寫出曲線Cn在點(diǎn)Pn處的切線ln的方程，并求出ln與y軸的交點(diǎn)Qn的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若原點(diǎn)O（0，0）到ln的距離與線段PnQn的長(zhǎng)度之比取得最大值，試求點(diǎn)Pn的坐標(biāo)（xn，yn）； （Ⅲ）設(shè)m與k為兩個(gè)給定的不同的正整數(shù)，xn與yn是滿足（Ⅱ）中條件的點(diǎn)Pn的坐標(biāo)，
證明：（s=1，2，…）。
解：（Ⅰ）∵（nx2）'=2nx
∴曲線Cn過點(diǎn)Pn（xn，yn）的切線ln的方程為y-nx2=2nxn（x-xn）
即2nxnx-y-nxn2=0
令x=0，得y=-nx2
∴Qn的坐標(biāo)為（0，-nx2）；
（Ⅱ）原點(diǎn)D（0，0）到ln的距離為



即時(shí)，取的最大值
故所求點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，于是




現(xiàn)證明


故問題得證。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線Cn：y=nx2，點(diǎn)Pn（xn，yn）（xn＞0，yn＞0）是曲線Cn上的點(diǎn)（n=1，2，…），
（1）試寫出曲線Cn在Pn點(diǎn)處的切線ln為的方程，并求出ln與y軸的交點(diǎn)Qn的坐標(biāo)；
（2）若原點(diǎn)O（0，0）到ln的距離與線段PnQn的長(zhǎng)度之比取得最大值，試求點(diǎn)的坐標(biāo)Pn（xn，yn）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•黃岡模擬）已知曲線C：y=4x，Cn：y=4x+n（n∈N*），從C上的點(diǎn)Qn（xn，yn）作x軸的垂線，交Cn于點(diǎn)Pn，再?gòu)狞c(diǎn)Pn作y軸的垂線，交C于點(diǎn)Qn+1（xn+1，yn+1），設(shè)x1=1，an=xn+1-xn，bn=
yn+1
yn

（1）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（2）記cn=
4
anbn
，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，試比較Sn與
37
32
的大�。╪∈N*）；
（3）記dn=
3×5n
2n+2×(bn-1)
，數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和為Tn，試證明：（2n-1）•dn≤T2n-1≤
5
3
×[1-(
5
8
)2n+1]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線Cn：y＝nx2，點(diǎn)Pn(xn，yn)(xn＞0，yn＞0)是曲線Cn上的點(diǎn)(n＝1,2，…).

(1)試寫出曲線Cn在點(diǎn)Pn處的切線ln的方程，并求出ln與y軸的交點(diǎn)Qn的坐標(biāo)；

(2)若原點(diǎn)O(0,0)到ln的距離與線段PnQn的長(zhǎng)度之比取得最大值，試求點(diǎn)Pn的坐標(biāo)(xn，yn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知曲線Cn：y=nx2，點(diǎn)Pn（xn，yn）（xn＞0，yn＞0）是曲線Cn上的點(diǎn)（n=1，2，…），
（1）試寫出曲線Cn在Pn點(diǎn)處的切線ln為的方程，并求出ln與y軸的交點(diǎn)Qn的坐標(biāo)；
（2）若原點(diǎn)O（0，0）到ln的距離與線段PnQn的長(zhǎng)度之比取得最大值，試求點(diǎn)的坐標(biāo)Pn（xn，yn）

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