已知曲線Cn：y=nx2，點Pn（xn，yn）（xn＞0，yn＞0）是曲線Cn上的點（n=1，2，…），
（1）試寫出曲線Cn在Pn點處的切線ln為的方程，并求出ln與y軸的交點Qn的坐標(biāo)；
（2）若原點O（0，0）到ln的距離與線段PnQn的長度之比取得最大值，試求點的坐標(biāo)Pn（xn，yn）
分析：（1）由題意知y′=2nx，由此可知切線ln的方程：y-yn=2nxn（x-xn），令n=0得Qn（0，-nxn2）．
（2）由題意知
d
|pnQn |
=
nxn
1+4n2xn2
=
1
1
nxn
+4nxn
≤
1
4
．由此及彼可推導(dǎo)出p的坐標(biāo)為(
1
2n
，
1
4n
)．
解答：解：（1）∵y′=2nx，
∴k=2nxn，切線lm的方程：y-yn=2nxn（x-xn），
令x=0得y=-2nxn2+yn=-nxn2，即Qn（0，-nxn2）．
（2）切線方程可寫成：2nxnx-y-2nxn2+yn=0．
|PnQn|=
xn2+(2nxn2)2
 =xn
1+4n2xn2
，
d
|pnQn |
=
nxn
1+4n2xn2
=
1
1
nxn
+4nxn
≤
1
4
．
當(dāng)且僅當(dāng)
1
nxn
=4nxn，即xn=
1
2n
時，取等號，此時yn=nxn2，點P的坐標(biāo)為(
1
2n
，
1
4n
)．
點評：本題以數(shù)列知識為載體，綜合考查了導(dǎo)數(shù)知識和點到直線的距離公式，體現(xiàn)了出題者的智慧．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•黃岡模擬）已知曲線C：y=4x，Cn：y=4x+n（n∈N*），從C上的點Qn（xn，yn）作x軸的垂線，交Cn于點Pn，再從點Pn作y軸的垂線，交C于點Qn+1（xn+1，yn+1），設(shè)x1=1，an=xn+1-xn，bn=
yn+1
yn

（1）求數(shù)列{xn}的通項公式；
（2）記cn=
4
anbn
，數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，試比較Sn與
37
32
的大小（n∈N*）；
（3）記dn=
3×5n
2n+2×(bn-1)
，數(shù)列{dn}的前n項和為Tn，試證明：（2n-1）•dn≤T2n-1≤
5
3
×[1-(
5
8
)2n+1]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：山東省高考真題 題型：解答題

已知曲線Cn：y=nx2，點Pn（xn，yn）（xn>0，yn>0）是曲線Cn上的點（n=l，2，…）。
（I）試寫出曲線Cn在點Pn處的切線ln的方程，并求出ln與y軸的交點Qn的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若原點O（0，0）到ln的距離與線段PnQn的長度之比取得最大值，試求點Pn的坐標(biāo)（xn，yn）； （Ⅲ）設(shè)m與k為兩個給定的不同的正整數(shù)，xn與yn是滿足（Ⅱ）中條件的點Pn的坐標(biāo)，
證明：（s=1，2，…）。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線Cn：y＝nx2，點Pn(xn，yn)(xn＞0，yn＞0)是曲線Cn上的點(n＝1,2，…).

(1)試寫出曲線Cn在點Pn處的切線ln的方程，并求出ln與y軸的交點Qn的坐標(biāo)；

(2)若原點O(0,0)到ln的距離與線段PnQn的長度之比取得最大值，試求點Pn的坐標(biāo)(xn，yn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知曲線Cn：y=nx2，點Pn（xn，yn）（xn＞0，yn＞0）是曲線Cn上的點（n=1，2，…），
（1）試寫出曲線Cn在Pn點處的切線ln為的方程，并求出ln與y軸的交點Qn的坐標(biāo)；
（2）若原點O（0，0）到ln的距離與線段PnQn的長度之比取得最大值，試求點的坐標(biāo)Pn（xn，yn）

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