Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

（Ⅰ）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（Ⅱ）用定義證明f（x）在[1，

3

]上是增函數(shù)；
（Ⅲ）求出函數(shù)f（x）在[1，

3

]的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在[1，

3

]上是增函數(shù)；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)即可求出函數(shù)f（x）在[1，

3

]的最值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)：
證明：函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對稱，
則f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（Ⅱ）1≤x₁＜x₂≤

3

，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-x₂-

1

x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）=（x₁-x₂）•

x1x2-1

x1x2

，
∵1≤x₁＜x₂≤

3

，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在[1，

3

]上是增函數(shù)；
（Ⅲ）∵f（x）在[1，

3

]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[1，

3

]的最大值為f（

3

）=

3

+

1

3

=

4 3

3

，
最小值為f（1）=1+1=2．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．