Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx． 
（1）當(dāng)a=-4時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)函數(shù) a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=2x+2+

a

x

，（x＞0）．當(dāng)a=-4時(shí)，f′（x）=2x+2-

4

x

=

2(x+2)(x-1)

x

．令f′（x）≥0，解得x的取值范圍即可．
（2）f′（x）=

2x2+2x+a

x

，由于f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)函數(shù)，可得f′（x）≥0，x∈（0，1）恒成立．
因此f′（0）=a≥0恒成立，解出即可．

解答： 解：（1）f′（x）=2x+2+

a

x

，（x＞0）．
當(dāng)a=-4時(shí)，f′（x）=2x+2-

4

x

=

2(x+2)(x-1)

x

．
令f′（x）≥0，解得x≥1．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，+∞）．
（2）f′（x）=

2x2+2x+a

x

，
∵f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）≥0，x∈（0，1）恒成立．
∴f′（0）=a≥0恒成立，
∴a的取值范圍是[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題查克拉利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．